华罗庚在数学领域解开了多个具有里程碑意义的难题，主要包括以下三方面：

一、高斯三角和估计问题

华罗庚在20世纪40年代解决了高斯完整三角和的估计问题，提出了最佳误差阶估计。该结果在数论中具有广泛应用，是解析数论领域的重要突破。

二、华林问题与塔里问题

华林问题

华罗庚对德国数学家G.H.哈代与J.E.李特尔伍德关于华林问题的研究进行了重大改进，提出了更优的估计方法，至今仍是最佳纪录。

塔里问题

他进一步研究了E.赖特关于塔里的问题，通过创新方法改进了相关理论，其成果在数论和代数领域具有深远影响。

三、素数幂表示问题（华罗庚定理）

华罗庚在40年代证明，对于任意充分大的整数n，都可以表示为不超过$6n^2\log n$个素数的平方和。这一结果被称为“华罗庚定理”，是数论中关于整数分解的重要理论，远优于当时国际上的其他成果。

其他贡献

矩阵几何学与偏微分方程：

在华罗庚的研究生涯中，他还涉足矩阵几何学、典型群、自守函数论、多复变函数论等领域，取得多项突破。

教育与推广：作为数学教育家，他培养了大批数学人才，推动了中国数学研究的整体发展。

华罗庚的这些成就不仅推动了中国数学的进步，也在国际数学界产生了广泛影响，被誉为“现代数学之父”。