考研机构的管理主要 属于教育部及其下属的相关司局。具体来说，教育部学位管理与研究生教育司负责全国学位与研究生教育工作的改革与发展规划、指导与管理研究生培养工作、指导学科建设与管理工作等。此外，各省、自治区、直辖市的教育招生考试机构也会参与考研的组织工作，负责具体的报名、考试和录取等事宜。

对于教育行业的考研机构，归教育体育局管辖；而一般个人公司型的考研机构，则归市场监管部门管理。考研辅导机构作为民办教育机构，实质上是注册公司，虽然需要各种办学资质，但基于本质还是归工商局管辖，招聘的老师等归人社局管辖，经营范围归市监局管辖。

综上所述，考研机构的管理主要由国家教育部及其下属的相关司局负责，同时涉及地方教育行政部门、教育招生考试机构、市场监管部门等多个部门。