关于考研英语教师刘琦的执业机构，综合相关信息整理如下：

新东方

刘琦曾在新东方长期从事考研英语教学，累计教学经验超过14年，期间担任集团演讲师、武汉学校考研及四六级名师等职。

有道考神团队

后刘琦跳槽至有道考神团队，继续从事考研英语培训工作。

建议：

若侧重传统教学体系与品牌保障，可选择新东方；

若偏好线上课程或特定教学风格，可关注有道考神团队。（注：两者均涉及考研英语教学，具体选择可根据个人需求和偏好决定）